ロットサイズ最適化システム OptLot

Lotsizing Optimzation System

簡易システムの紹介ビデオ

はじめに

ここで論じるのは，需要量が期によって変動するときの各期の生産量（もしくは発注量）ならびに在庫量を決定するためのモデル（動的ロットサイズ決定モデル）である．発注量を決める古典モデルである経済発注量モデルは，サプライ・チェイン基本分析システム SCBASの，安全在庫、ロットサイズ、目標在庫（基在庫レベル）の設定関数 inventory_analysisで計算できる．ここで考えるモデルは，経済発注量モデルにおける需要が一定という仮定を拡張し，期によって変動することを許したものである．

計画期間は有限であるとし，発注を行う際の段取り費用（もしくは生産費用）と在庫費用のトレードオフをとることがモデルの主目的になる．

ロットサイズ決定は，タクティカルレベルの意思決定モデルであり，与えられた資源（機械や人）の下で，活動をどの程度まとめて行うかを決定する．

一般に，生産や輸送は規模の経済性をもつ．これをモデル化する際には，生産や輸送のための諸活動を行うためには「段取り」とよばれる準備活動が必要になると考える．ロットサイズ決定とは，段取り活動を行う期を決定し，生産・輸送を表す諸活動をまとめて行うときの「量」を決定するモデルである．

ロットサイズ決定問題は，古くから多くの研究が行われている問題であるが，国内での（特に実務家の間での）認知度は今ひとつのようである．適用可能な実務は，ERP（Enterprise Resource Planning）やAPS（Advanced Planning and Scheduling）などの処理的情報技術を導入しており，かつ段取りの意思決定が比較的重要な分野である．そのような分野においては， ERPやAPSで単純なルールで自動化されていた部分に最適化を持ち込むことによって，より現実的かつ効率的な解を得ることができる．特に，装置産業においては，ロットサイズ決定モデルは，生産計画の中核を担う．

現在の我が国で販売されている生産スケジューラは，すべてルールに基づいたヒューリスティクスであり，いわゆる処理的情報技術に過ぎない．ロットまとめの意思決定はタクティカルレベルであり，オペレーショナルレベルのスケジューリング最適化と同時に行うべきではない．個々の意思決定レベルの最適化に基づき，情報のやりとりによって全体最適化を目指す必要があり，そのためには，広範囲の問題が解けるロットサイズ決定モデルが必須である．

データ

読み込みと生成

prod_df = pd.read_csv(folder + "lotprod.csv",index_col=0)
prod_df.set_index("name", inplace=True)
production_df = pd.read_csv(folder + "production.csv",index_col=0)
bom_df = pd.read_csv(folder + "bomodel.csv", index_col =0)
resource_df = pd.read_csv(folder + "resource.csv", index_col=0)
plnt_demand_df = pd.read_csv(folder+"plnt-demand.csv")
demand = pd.pivot_table(plnt_demand_df, index= "prod", columns ="period",  values="demand", aggfunc=sum)

品目データ

製品や半製品や部品や原材料をあわせて品目とよぶ．データ項目は以下の通り．

name: 名称
inv_cost: （工場における）在庫費用
safety_inventory: 安全在庫量（在庫量の下限値）
initial_inventory: 初期在庫量
target_inventory: 目標在庫量（在庫量の上限値）

prod_df

	inv_cost	safety_inventory	initial_inventory	target_inventory
name
A	0.005769	38.636429	401.0	763.398459
B	0.005769	37.812572	395.0	753.503381
C	0.005769	22.971393	373.0	723.295128
D	0.005769	17.463825	323.0	630.222614
E	0.005769	200.161342	934.0	1668.384758
F	0.005769	33.532552	385.0	737.729494
G	0.005769	41.214374	450.0	859.171178
H	0.005769	96.322978	498.0	901.348857
I	0.005769	20.535360	333.0	645.835288
J	0.005769	133.584150	654.0	1175.499053
ABCDE	0.002000	317.045562	2426.0	4538.804340
FGHIJ	0.002000	325.189413	2320.0	4319.583871

生産データ

工場における各品目の生産データを保管する．データ項目は以下の通り．

name: 品目名
ProdTime: 品目1単位の生産時間
SetupTime: 品目の段取り時間
ProdCost: 品目1単位の生産費用
SetupCost: 品目の段取り費用

production_df

	name	ProdTime	SetupTime	ProdCost	SetupCost
0	A	1	3752	218	18873
1	B	1	6193	153	19454
2	C	1	5206	203	18008
3	D	1	6628	144	10289
4	E	1	5539	213	10470
5	F	1	4028	170	12393
6	G	1	4395	208	10508
7	H	1	5289	171	11959
8	I	1	6635	284	11938
9	J	1	4275	282	12590
10	ABCDE	1	4016	221	18107
11	FGHIJ	1	6045	134	14345

部品展開表（枝）データ

どの品目（親品目）がどの品目（子品目）から製造されるかを表すデータ．データ項目は，以下の通り．

child: 子品目（枝の出発点）
parent: 親品目（枝の到着点）
units: 親品目1単位を製造するために必要な子品目の数

bom_df

	child	parent	units
0	ABCDE	A	1
1	ABCDE	B	1
2	ABCDE	C	1
3	ABCDE	D	1
4	ABCDE	E	1
5	FGHIJ	F	1
6	FGHIJ	G	1
7	FGHIJ	H	1
8	FGHIJ	I	1
9	FGHIJ	J	1

需要データ

各（最終）品目の期ごとの需要量を保管する．

demand

period	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	...	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23
prod
A	12607	9700	10743	12361	10971	11835	11457	12331	10895	11739	...	16728	16814	16545	17139	16092	15550	16085	17367	16447	15288
B	11615	11448	10511	10698	11532	11694	10784	12906	11695	11695	...	13776	15588	16452	16163	14370	17795	14495	14654	13622	16490
C	4673	4545	3978	4551	3376	4471	4128	4299	4731	4072	...	6362	5667	6067	5630	5553	6329	6384	6816	6113	6151
D	523	490	491	480	538	489	529	526	534	568	...	756	716	696	761	760	682	771	733	694	750
E	47705	49913	50755	50712	47705	43462	49057	46509	55423	52030	...	67193	60003	65447	73008	74761	69651	75255	70322	70567	71030
F	8026	7661	8048	7967	7177	7946	8141	7524	7801	8261	...	9664	10244	10250	10294	9653	10567	11465	11614	10023	11288
G	10293	9586	10591	8613	9825	10961	10291	10687	10027	9467	...	15540	13173	14380	14110	15172	16715	15323	14382	16271	15819
H	25189	24967	24478	23431	26105	23759	24443	22857	24239	23478	...	36093	35980	36019	37020	34913	34591	37014	31564	35839	37686
I	1755	1664	1579	1582	1618	1591	1729	1678	1582	1585	...	2097	2179	1984	2268	2382	2331	2296	1808	2036	2171
J	36139	37966	36192	31019	29571	30102	33486	31354	30218	32938	...	50071	49455	47130	46465	46361	41844	46982	54395	47368	44730

10 rows × 24 columns

資源データ

資源の使用可能量上限（容量；使用可能時間）を規定する．データ項目は，以下の通り．

name: 資源名
period: 期
capacity: 使用可能量上限

resource_df.head()

	name	period	capacity
0	Res0	0	102239.854167
1	Res0	1	102239.854167
2	Res0	2	102239.854167
3	Res0	3	102239.854167
4	Res0	4	102239.854167

標準モデルの定式化

多段階動的ロットサイズ決定モデル

Pochet–Wolsey 1991 Management Science Vol. 37 53–67 参照

ここでは，多段階にわたって製造を行うときのロットサイズ決定問題を考える．

標準定式化

集合

\(\{1..T\}\): 期間の集合
\(P\) : 品目の集合（完成品と部品や原材料を合わせたものを「品目」と定義する。）
\(K\) : 生産を行うのに必要な資源（機械，生産ライン，工程などを表す）の集合
\(P_k\) : 資源 \(k\) で生産される品目の集合
\(Parent_p\) : 部品展開表における品目（部品または材料）\(p\) の親品目の集合．言い換えれば，品目 \(p\) から製造される品目の集合

パラメータ

\(T\): 計画期間数；期を表す添え字を \(1,2,\cdots,t,\cdots,T\) と記す．
\(f_t^p\) : 期 \(t\) に品目 \(p\) に対する段取り替え（生産準備）を行うときの費用（段取り費用）
\(g_t^p\) : 期 \(t\) に品目 \(p\) に対する段取り替え（生産準備）を行うときの時間（段取り時間）
\(c_t^p\) : 期 \(t\) における品目 \(p\) の生産変動費用
\(h_t^p\) : 期 \(t\) から期 \(t+1\) に品目 \(p\) を持ち越すときの単位あたりの在庫費用
\(d_t^p\) : 期 \(t\) における品目 \(p\) の需要量
\(\phi_{pq}\) : \(q \in Parent_p\) のとき，品目 \(q\) を \(1\) 単位製造するのに必要な品目 \(p\) の数（\(p\)-units）；ここで， \(p\)-unitsとは，品目 \(q\) の \(1\)単位と混同しないために導入された単位であり，品目 \(p\) の \(1\)単位を表す．\(\phi_{pq}\) は，部品展開表を有向グラフ表現したときには，枝の重みを表す．
\(M_t^k\) : 期 \(t\) における資源 \(k\) の使用可能な生産時間の上限．定式化では，品目 \(1\)単位の生産時間を \(1\)単位時間になるようにスケーリングしてあるものと仮定しているが，プログラム内では単位生産量あたりの生産時間を定義している．
\(UB_t^p\) : 期 \(t\) における品目 \(p\) の生産時間の上限．品目 \(p\) を生産する資源が \(k\) のとき，資源の使用可能時間の上限 \(M_t^k\) から段取り替え時間 \(g_t^p\) を減じたものと定義される．

変数

\(x_t^p\)（x）: 期 \(t\) における品目 \(p\) の生産量
\(I_t^p\)（inv） : 期 \(t\) における品目 \(p\) の在庫量
\(y_t^p\)（y）: 期 \(t\) に品目 \(p\) に対する段取りを行うとき \(1\)，それ以外のとき \(0\) を表す \(0\)-\(1\) 変数

上の記号を用いると、多段階ロットサイズ決定モデルは，以下のように定式化できる．

\[ \begin{array}{ l l l } minimize & \sum_{t=1}^T \sum_{p \in P} \left( f_t^p y_t^p + c_t^p x_t^p + h_t^p I_t^p \right) & \\ s.t. & \ \ I_{t-1}^p +x_t^p = d_t^p+ \sum_{q \in Parent_p} \phi_{pq} x_t^q +I_t^p & \forall p \in P, t=1,\cdots,T \\ & \sum_{p \in P_k} x_t^p +\sum_{p \in P_k} g_t^p y_t^p \leq M_t^k & \forall k \in K, t=1,\cdots,T \\ & x_t^p \leq UB_t^p y_t^p & \forall p \in P, t=1,\cdots,T \\ & I_0^p =0 & \forall p \in P \\ & x_t^p,I_t^p \geq 0 & \forall p \in P, t=1,\cdots,T \\ & y_t^p \in \{0,1\} & \forall p \in P, t=1,\cdots,T \end{array} \]

上の定式化で，最初の制約式は，各期および各品目に対する在庫の保存式を表す．より具体的には，品目 \(p\) の期 \(t-1\) からの在庫量 \(I_{t-1}^p\) と生産量 \(x_t^p\) を加えたものが，期 \(t\) における需要量 \(d_t^p\)，次期への在庫量 \(I_t^p\)，および他の品目を生産するときに必要な量 \(\sum_{q \in Parent_p} \phi_{pq} x_t^q\) の和に等しいことを表す．

2番目の制約は，各期の生産時間の上限制約を表す．定式化ではすべての品目の生産時間は， \(1\) 単位あたり\(1\) 時間になるようにスケーリングしてあると仮定していたが，実際問題のモデル化の際には，品目 \(p\) を \(1\) 単位生産されるときに，資源 \(k\) を使用する時間 \(a_{k}^p\) を用いた方が汎用性がある．

3番目の式は，段取り替えをしない期は生産できないことを表す．

また，以下の強化式を追加すると，高速化する可能性がある． \[ x_t^p \leq d_t^p y_t^p +I_y^p \ \ \ \forall p \in P, t=1,\cdots,T\forall p \in P, t=1,\cdots,T \]

エシェロン在庫を用いた定式化

品目間の親子関係だけでなく，先祖（部品展開表を表す有向グラフを辿って到達可能な品目の集合）を導入しておく．

集合

\(Ancestor_{p}\): 品目 \(p\) の先祖の集合．親子関係を表す有向グラフを辿って到達可能な点に対応する品目から構成される集合．品目 \(p\) 自身は含まないものとする．

パラメータ

\(\rho_{pq}\): \(q \in Ancestor_p\) のとき，品目 \(q\) を \(1\) 単位生産するのに必要な品目 \(p\) の量
\(H_t^p\): 期 \(t\) における品目 \(p\) のエシェロン在庫費用；品目 \(p\) を生産することによって得られた付加価値に対する在庫費用を表す。品目 \(p\) を製造するのに必要な品目の集合を \(Child_p\) としたとき，以下のように定義される． \[ H_t^p =h_t^p -\sum_{q \in Child_p} h_t^q \phi_{qp} \]

変数 - \(E_{t}^p\): 期 \(t\) における品目 \(p\) のエシェロン在庫量；自分と自分の先祖の品目の在庫量を合わせたものであり，以下のように定義される． \[ E_t^p = I_t^p +\sum_{q \in Ancestor_p} \rho_{pq} I_t^q \]

上の記号を用いると，エシェロン在庫を用いた多段階ロットサイズ決定モデルの定式化は，以下のようになる． \[ \begin{array}{ l l l } minimize & \sum_{t=1}^T \sum_{p \in P} \left( f_t^p y_t^p + c_t^p x_t^p + H_t^p E_t^p \right) & \\ s.t. & \ \ E_{t-1}^p +x_t^p - E_t^p = d_t^p + \sum_{q \in Ansestor_p} \rho_{pq} d_t^q & \forall p \in P, t=1,\cdots,T \\ & \sum_{p \in P_k} x_t^p +\sum_{p \in P_k} g_t^p y_t^p \leq M_t^k & \forall k \in K, t=1,\cdots,T \\ & E_t^p \geq \sum_{q \in Parent_p} \phi_{pq} E_t^q & \forall p \in P, t=1,\cdots,T \\ & x_t^p \leq UB_t^p y_t^p & \forall p \in P, t=1,\cdots,T \\ & E_0^p =0 & \forall p \in P \\ & x_t^p,E_t^p \geq 0 & \forall p \in P, t=1,\cdots,T \\ & y_t^p \in \{0,1\} & \forall p \in P, t=1,\cdots,T \end{array} \]

上の定式化で，最初の制約は，各期および各品目に対するエシェロン在庫の保存式を表す．より具体的には，品目 \(p\) の期 \(t-1\) からのエシェロン在庫量 \(E_{t-1}^p\) と生産量 \(x_t^p\) を加えたものが，期 \(t\) における品目 \(p\) の先祖 \(q\) の需要量を品目 \(p\) の必要量に換算したものの合計 \(\sum_{q \in Ansestor_p} \rho_{pq} d_t^q\) と、自身の需要量 \(d_{t}^p\) と、次期へのエシェロン在庫量 \(E_t^p\) の和に等しいことを表す． 2番目の制約は，各期の生産時間の上限制約を表す． 3番目の制約は，各品目のエシェロン在庫量が，その親集合の品目のエシェロン在庫量の合計以上であること（言い換えれば実需要量が負にならないこと）を規定する． 4番目の制約は，段取り替えをしない期は生産できないことを表す．

この定式化は1段階モデルと同じ構造をもつので、強化式を加えたり、施設配置定式化のような強い定式化に変形することが可能である。

以下のプログラムでは、実在庫量の上下限制約を付加している。エシェロン在庫モデルにおける3番目の制約のスラック変数が、実在庫量になっているので、制約を以下のように書き換えた後で、実在庫量に対する上下限制約を付加すれば良い。

\[ E_t^p + I_t^p = \sum_{q \in Parent_p} \phi_{pq} E_t^q \ \ \ \forall p \in P, t=1,\cdots,T \]

施設配置定式化

ここでは，オリジナルと定式化と同じ \(O(T)\) 個の \(0\)-\(1\) 変数を用いて，より強い定式化を導く．簡単のため1段階モデルを考える。品目を表す添え字 \(p\) を付加し、在庫をエシェロン在庫に置き換えれば、多段階にも使うことができる。

我々の想定しているロットサイズ決定問題では品切れは許さないので，期 \(t\) の需要は，期 \(t\) もしくはそれ以前の期で生産された量でまかなわれなければならない．そこで，期 \(t\) の需要のうち，期 \(s (s \leq t)\) で生産した量によってまかなわれた比率を表す変数 \(X_{st}\) を導入する．

\(X_{st}\) が \(1\) のとき，期　\(t\)の需要量 \(d_t\) が，期 \(s\) で生産され，期 \(t\) まで在庫される．需要 \(1\)　単位あたりの変動費用は，生産変動費用 \(c_s\) と在庫費用 \(\sum_{\ell=s}^{t-1} h_{\ell}\) の和になるので， \(X_{st}\) の係数 \(CH_{st}\) は，以下のように定義される． \[ CH_{st}= \left( c_s +\sum_{\ell=s}^{t-1} h_{\ell} \right) d_t \]

すべての需要は満たされなければならず，また \(X_{st} >0\) のときには期 \(s\) で生産しなければならないので， \(y_s=1\) となる．ここで，\(y_t\) はオリジナルの定式化における \(0\)-\(1\) 変数で，期 \(t\) に生産をするときに \(1\)，それ以外のとき \(0\) を表すことを思い起こされたい．よって，以下の定式化を得る．

\[ \begin{array}{ l l l } minimize & \sum_{s t: s \leq t} CH_{st} X_{st} + \sum_{t} f_t y_t & \\ s.t. & \ \ \sum_{s=1}^t X_{st}=1 & \forall t=1,\cdots,T \\ & X_{st} \leq y_s & \forall s \leq t, t=1,\cdots,T \\ & X_{st} \geq 0 & \forall s \leq t, t=1,\cdots,T \\ & y_t \in \{0,1\} & \forall t=1,\cdots,T \end{array} \]

この定式化は，期を表す点を需要地点（マーケット）ならびに施設（倉庫）の配置可能地点ととらえると，施設配置問題に類似した問題になるので，施設配置定式化（facility location formulation）とよばれる．

オリジナルの定式化の変数との関係は以下のようになる。

各期の生産量： \[ x_s = \sum_{t=s}^T d_t X_{st} \]

在庫量： \[ I_t = \sum_{i=1}^t ( x_i -d_i ) \]

この関係を用いれば、オリジナルの定式化に含まれている付加制約を記述することができる。

他にも、生産をする際のロットサイズが固定されている場合（フル容量生産）に対しては、別の強化された定式化が可能である。また、順序依存の段取りや複数の生産資源制約や生産ラインへの割り当てを考慮した定式化も可能であるが、問題の規模が大きくなると計算が困難になる。実際問題の制約に応じて、カスタマイズされた定式化を行うことが望ましい。

多モードロットサイズ決定モデルの定式化

小バケットモデル

各期の各モード（ラインを想定）では，1つの品目を生産できると仮定した場合を考える．これは，高々2つの品目を生産可能な場合に拡張できる．

集合

\(\{1..T\}\): 期間の集合
\(P\) : 品目の集合（完成品と部品や原材料を合わせたものを「品目」と定義する。）
\(K\) : 生産を行うのに必要な資源（機械，生産ライン，工程などを表す）の集合
\(M_p\): 品目 \(p\) のモードの集合（すべてのモードの集合は \(M\)）
\(PM_k\) : 資源 \(k\) で生産される品目とモードの対の集合

パラメータ

\(T\): 計画期間数；期を表す添え字を \(1,2,\cdots,t,\cdots,T\) と記す．
\(f_{tm}^p\) : 期 \(t\) に品目 \(p\) をモード \(m\) で段取り替え（生産準備）を行うときの費用（段取り費用）
\(g_{tm}^p\) : 期 \(t\) に品目 \(p\) をモード \(m\) で段取り替え（生産準備）を行うときの時間（段取り時間）
\(c_{tm}^p\) : 期 \(t\) における品目 \(p\) のモード \(m\) での生産変動費用
\(\tau_{tm}^p\): 期 \(t\) における品目 \(p\) のモード \(m\) での単位生産時間
\(h_t^p\) : 期 \(t\) から期 \(t+1\) に品目 \(p\) を持ち越すときの単位あたりの在庫費用
\(d_t^p\) : 期 \(t\) における品目 \(p\) の需要量
\(U_t^k\) : 期 \(t\) における資源 \(k\) の使用可能な生産時間の上限．
\(UB_t^{kp}\) : 期 \(t\) における品目 \(p\) の生産時間の上限．品目 \(p\) を生産する資源が \(k\) のとき，資源の使用可能時間の上限 \(U_t^k\) から段取り替え時間 \(g_t^p\) を減じたものと定義される．

変数

\(x_{tm}^p\): 期 \(t\) における品目 \(p\) のモード \(m\) における生産量
\(I_t^p\) : 期 \(t\) における品目 \(p\) の在庫量（ただし \(t=0\) のときには初期在庫，\(t=T\) のときには最終在庫を表すパラメータとする．）
\(y_{tm}^p\): 期 \(t\) に品目 \(p\) をモード \(m\) で生産を行うとき \(1\)，それ以外のとき \(0\) を表す \(0\)-\(1\) 変数（ただし \(t=0\) のときには初期における段取り状態を表すパラメータとする．また，\(t=0\) のときには，1つの品目の段取り状態になっていないといけない．）
\(z_{tm}^p\): 期 \(t\) に品目 \(p\) をモード \(m\) で段取りを開始するとき \(1\)，それ以外のとき \(0\) を表す \(0\)-\(1\) 変数
\(w_{tm}^p\): 期 \(t\) に品目 \(p\) をモード \(m\) で段取りを終了するとき \(1\)，それ以外のとき \(0\) を表す \(0\)-\(1\) 変数

上の記号を用いると、小バケットロットサイズ決定モデルは，以下のように定式化できる．

\[ \begin{array}{ l l l } minimize & \sum_{t=1}^T \sum_{p \in P} \sum_{m \in M_p} \left( f_{tm}^p z_{tm}^p + c_{tm}^p x_{tm}^p + h_t^p I_t^p \right) & \\ s.t. & \ \ I_{t-1}^p + \sum_{m \in M_p} x_{tm}^p = d_t^p+ I_t^p & \forall p \in P, t=1,\cdots,T \\ & \sum_{(p,m) \in PM_k} ( \tau_{tm}^p x_t^p + g_{tm}^p z_{tm}^p ) \leq U_t^k & \forall k \in K, t=1,\cdots,T \\ & x_{tm}^p \leq UB_t^p y_{tm}^p & \forall p \in P, t=1,\cdots,T \\ & \sum_{p} y_{tm}^p = 1 & \forall m \in M, t=1,\cdots,T \\ & z_{tm}^p \leq y_{tm}^p & \forall p \in P, m \in M_p, t=1,\cdots,T \\ & z_{tm}^p- w_{t-1,m}^p = y_{tm}^p - y_{t-1,m}^p & \forall p \in P, m \in M_p, t=1,\cdots,T \\ & I_0^p =0 & \forall p \in P \\ & x_{tm}^p \geq 0 & \forall p \in P, m \in M_p, t=1,\cdots,T \\ & I_t^p \geq 0 & \forall p \in P, t=1,\cdots,T \\ & y_{tm}^p, z_{tm}^p, w_{tm}^p \in \{0,1\} & \forall p \in P, m \in M_p, t=1,\cdots,T \end{array} \]

また，以下の強化式を追加すると，高速化する可能性がある． \[ y_{t-1,m}^p + z_{tm}^p + \sum_{q \neq p: m \in M_q} (y_{tm}^q - z_{t,m}^q ) \leq 1 \ \ \ \forall p \in P, m \in M_p, t=1,\cdots,T \]

これは，以下の3つが同時に発生しないことを表す．

期 \(t-1\) に品目 \(p\) が段取り状態である．
期 \(t\) に品目 \(p\) が段取りを開始する．
\(p\) 以外の品目 \(q\) が期 \(t\) に段取りを開始する以外で段取り状態にある．（\(y_{tm}^q=1\) でかつ \(z_{t,m}^q=0\) である．）

高々2つの品目が生産可能と仮定した小バケットモデル

段取りに関する部分を以下を変更する． \[ \begin{array}{ l l l } & \sum_{p} (y_{tm}^p -z_{tm}^p ) = 1 & \forall m \in M, t=1,\cdots,T \\ & z_{tm}^p +z_{t-1,n}^p \leq y_{tm}^p & \forall p \in P, m \in M_p, t=1,\cdots,T \end{array} \]

最初の式は，段取り状態で段取り開始でない品目（前の期からの段取りを引き継いでいる品目）は，1つであることを表す．次の式は，期 \(t\) もしくは \(t-1\) に段取り開始をしたならば，期 \(t\) は段取り状態になっていることを表し，同時に2期連続で段取り開始できないことを表す．

また，以下の強化式を追加すると，高速化する可能性がある． \[ y_{tm}^p + \sum_{q \neq p: m \in M_q} (y_{t+1,m}^q - z_{t+1,m}^q -z_{tm}^q ) \leq 1 \ \ \ \forall p \in P, m \in M_p, t=1,\cdots,T \]

これは，品目 \(p\) が期 \(t\) に段取り状態になっている場合は，それ以外の品目 \(q\) が期 \(t+1\) に段取り状態で，かつ期 \(t+1\) でも \(t\) でも段取り開始をしていないことが不可能であることを規程する．

#需要の生成 
T = 24 
yearly_ratio = [1.0 + np.sin(i)*0.5 for i in range(13)] 
dem, prod, month = [], [], [] 
try:
    prod_df.reset_index(inplace=True)
except:
    pass
for row in prod_df.itertuples():
    mu, sigma  = row.average_demand, row.standard_deviation  #monthly demand and std (original average is weekly) 
    for t in range(T):
        dem.append( int(yearly_ratio[t//12]* random.gauss(mu,sigma)) )
        prod.append(row.name)
        month.append(t)
plnt_demand_df = pd.DataFrame({"prod":prod, "period":month, "demand": dem})
plnt_demand_df.to_csv(folder+"plnt-demand.csv")
plnt_demand_df.head()
#print("T=",T)

	prod	period	demand
0	A	0	11790
1	A	1	12295
2	A	2	12417
3	A	3	12506
4	A	4	11648

try:
    prod_df.set_index("name",inplace=True)
except:
    pass

#２段階モデルを仮定；各段階には１つの資源制約と仮定
num_stages = 2
maintenance_cycle = 100 #資源が使用不可になる周期；この数で割り切れると休止
#num_resources = [2,3]
#assert num_stages == len(num_resources) #段階数と資源数のリストの長さは同じであることの確認

prod_time_bound = (1,1)
setup_time_bound =(3600,7200)
prod_cost_bound = (100,300)
setup_cost_bound =(10000,20000)

units_bound =(1,1)

num_parents = 5  # 1つの子品目から生成される親品目の数；distribution型の生産工程を仮定
products = list(prod_df.index)
num_prod = len(products)

#原材料リストを生成
raw_material_name=""
raw_materials = [] 
for i,p in enumerate(prod_df.index):
    raw_material_name += str(p)
    if (i+1)%num_parents == 0 or i==len(prod_df)-1:
        #print(i,p, raw_material_name)
        raw_materials.append(raw_material_name)
        raw_material_name =""
#親子関係を定義
parent = defaultdict(list)
child = {}
for r in raw_materials:
    parent[r] = list(r)
    for p in parent[r]:
        child[p] = r

#生産工程の容量を計算
average_demand = plnt_demand_df.demand.sum()/T
print(average_demand)

188868.375

cycle_time= 4
capacity = (average_demand*prod_time_bound[1]+setup_time_bound[1]*num_prod/cycle_time)

print("capacity=",capacity)
#資源データフレーム
#期ごとに容量が変化するモデル
#print(capacity)
name_, period_, capacity_ = [], [], []
for s in range(num_stages):
    for t in range(T):
        name_.append( f"Res{s}")
        period_.append(t)
        if (t+1) % maintenance_cycle == 0:
            capacity_.append( 0 )
        else:
            if s ==0:
                capacity_.append( capacity/2 )
            else:
                capacity_.append( capacity)
resource_df = pd.DataFrame(data={"name": name_, "period": period_, "capacity": capacity_})

#部品展開表のデータフレーム生成
bom_df = pd.DataFrame(data={"child": [child[p] for p in products],
                         "parent": products,
                         "units": [random.randint(units_bound[0], units_bound[1]) for i in range(num_prod)]
                        })

#生産情報データフレーム生成
items = products+raw_materials
num_item = len(items)
production_df = pd.DataFrame(data={"name": items,
                             "ProdTime": [random.randint(prod_time_bound[0], prod_time_bound[1]) for i in range(num_item)],
                             "SetupTime": [random.randint(setup_time_bound[0], setup_time_bound[1]) for i in range(num_item)],
                             "ProdCost": [random.randint(prod_cost_bound[0], prod_cost_bound[1]) for i in range(num_item)],
                             "SetupCost": [random.randint(setup_cost_bound[0], setup_cost_bound[1]) for i in range(num_item)]
                             })
production_df.set_index("name", inplace=True)
production_df.reset_index(inplace=True)
production_df.to_csv(folder+"production.csv")
bom_df.to_csv(folder+"bomodel.csv")
resource_df.to_csv(folder+"resource.csv")

capacity= 206868.375

#lotsize用のprodデータ作成
#inv_cost: Optional[float] = Field(description="工場における在庫費用")
#safety_inventory: Optional[float] = Field(description="安全在庫量（最終期の目標在庫量）")
#initial_inventory: Optional[float] = Field(description="初期在庫量")
#target_inventory

prod_df.reset_index(inplace=True)
name = prod_df.name.to_list()
inv_cost = prod_df.inv_cost.to_list()
safety_inventory = prod_df.safety_inventory.to_list()
initial_inventory = prod_df.initial_inventory.to_list()
target_inventory = prod_df.target_inventory.to_list()

name.extend(raw_materials)
inv_cost.extend( [0.002 for i in range(len(raw_materials))])
safety_inventory.extend([sum(safety_inventory[:num_parents]),sum(safety_inventory[num_parents:])] )
initial_inventory.extend([sum(initial_inventory[:num_parents]),sum(initial_inventory[num_parents:])] )
target_inventory.extend([sum(target_inventory[:num_parents]),sum(target_inventory[num_parents:])] )

prod_df = pd.DataFrame({"name":name, "inv_cost":inv_cost,"safety_inventory":safety_inventory,"initial_inventory":initial_inventory,"target_inventory":target_inventory})
prod_df.to_csv(folder+"lotprod.csv")

ロットサイズ決定問題を解く関数 lotsizing

2段階モデルを仮定し、最初の段階（原材料生成工程）における資源名を Res0、次の段階（完成品生産工程）における資源名をRes1とする。

原材料の在庫は許さないものとする。

親品目は子品目１単位から生成される。

引数：

prod_df : 品目データフレーム
production_df : 生産情報データフレーム
bom_df : 部品展開表データフレーム
demand : （期別・品目別の）需要を入れた配列（行が品目，列が期）
resource_df : 資源データフレーム

返値： - model : ロットサイズ決定モデルのオブジェクト（最適解の情報も mode.__data に含む）; 最適化の状態は model.Status - T : 計画期間数

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	...	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23
FGHIJ	0.000000	0.00000	6282.38280	0.00000	0.00000	0.00000	0.00000	7298.43600	0.0	5242.57507	...	0.0000	5787.49000	0.000000	5515.05310	0.00000	5059.50944	0.0000	5928.4375	0.0	4581.18941
B	0.000000	0.00000	0.00000	0.00000	0.00000	0.00000	7857.47797	0.00000	0.0	0.00000	...	0.0000	0.00000	0.000000	0.00000	8014.69081	0.00000	0.0000	0.0000	0.0	0.00000
I	0.000000	0.00000	6713.83529	0.00000	0.00000	0.00000	0.00000	0.00000	0.0	6792.29993	...	0.0000	6871.29993	0.000000	0.00000	0.00000	0.00000	0.0000	0.0000	6433.0	0.00000
ABCDE	0.000000	0.00000	0.00000	0.00000	4456.00576	5295.47240	5963.55650	0.00000	0.0	0.00000	...	6325.9182	0.00000	0.000000	0.00000	0.00000	0.00000	7208.4375	0.0000	0.0	4166.04556
C	0.000000	0.00000	0.00000	0.00000	4533.29513	0.00000	0.00000	0.00000	0.0	0.00000	...	0.0000	0.00000	0.000000	4533.00000	0.00000	0.00000	0.0000	0.0000	0.0	0.00000
E	0.000000	0.00000	0.00000	0.00000	0.00000	7964.16130	0.00000	0.00000	0.0	0.00000	...	0.0000	0.00000	0.000000	0.00000	0.00000	0.00000	0.0000	0.0000	0.0	0.00000
A	0.000000	5666.50830	5173.89016	5053.15945	0.00000	0.00000	5876.84050	5162.23797	0.0	0.00000	...	5500.0000	0.00000	6163.000000	0.00000	5261.23797	0.00000	6298.0000	0.0000	5772.0	0.00000
F	0.000000	0.00000	0.00000	7796.72949	0.00000	0.00000	0.00000	0.00000	0.0	7663.00000	...	0.0000	0.00000	0.000000	7978.19694	0.00000	7268.80306	0.0000	0.0000	0.0	0.00000
J	6851.499050	0.00000	0.00000	0.00000	0.00000	0.00000	0.00000	0.00000	7015.0	0.00000	...	0.0000	7039.08510	0.000000	0.00000	0.00000	0.00000	0.0000	0.0000	6500.0	0.00000
D	5873.027089	6513.19552	0.00000	0.00000	0.00000	6438.24121	0.00000	0.00000	0.0	0.00000	...	0.0000	0.00000	6473.831800	0.00000	5966.97191	0.00000	6191.4375	6462.0000	0.0	0.00000
G	0.000000	7518.17118	0.00000	0.00000	0.00000	0.00000	0.00000	0.00000	0.0	0.00000	...	7871.9568	0.00000	7061.043196	0.00000	0.00000	0.00000	0.0000	0.0000	0.0	0.00000
H	6973.348860	0.00000	0.00000	6847.98605	6894.81287	0.00000	0.00000	7237.20107	0.0	0.00000	...	0.0000	0.00000	0.000000	0.00000	0.00000	7369.56250	0.0000	7307.4375	0.0	0.00000

	2	3	4	5	6	...	15	16	19	20
D	5915.46383	0.00000	6511.0	0.000000	0.00000	...	6448.0	0.0	6501.0	0.0
F	0.00000	7668.53255	0.0	0.000000	0.00000	...	0.0	7532.0	0.0	7567.0
H	0.00000	0.00000	0.0	4007.322978	4807.00000	...	0.0	4840.0	0.0	0.0
G	0.00000	0.00000	0.0	3841.000000	4537.21437	...	0.0	4598.0	0.0	0.0
I	0.00000	7388.53536	0.0	0.000000	0.00000	...	0.0	0.0	0.0	7410.0

	費用
需要逸脱ペナルティ	0.000000e+00
在庫上下限逸脱ペナルティ	1.569742e+05
段取り費用	1.609179e+06
生産変動費用	1.371843e+06
在庫費用	1.122441e+07

簡易システムの紹介ビデオ

はじめに

データ

読み込みと生成

品目データ

生産データ

部品展開表（枝）データ

需要データ

資源データ

標準モデルの定式化

多段階動的ロットサイズ決定モデル

標準定式化

エシェロン在庫を用いた定式化

施設配置定式化

多モードロットサイズ決定モデルの定式化

小バケットモデル

高々2つの品目が生産可能と仮定した小バケットモデル

ロットサイズ決定問題を解く関数 lotsizing

lotsizing

lotsizing関数の使用例

最適化結果から図とデータフレームを生成する関数 show_result_for_lotsizing

show_result_for_lotsizing

一般的なモデルのExcelデータテンプレートの生成

品目データ（マスタ）生成関数 generate_item_master

generate_item_master

工程データ（マスタ） 生成関数 generate_process_master

generate_process_master

ロットサイズ決定システムのマスターExcel Workbookを生成する関数 generate_lotsize_master

generate_lotsize_master

部品展開表と資源必要量のシートを追加する関数 add_bom_resource_sheets

add_bom_resource_sheets

資源データ入力Excelテンプレートの生成関数

add_detailed_resource_sheet

注文データ（品目の納期と数量） generate_order_excel

generate_order_master

Excelブックの読み込みとデータ変換のための関数 read_dfs_from_excel_lot

read_dfs_from_excel_lot

read_dfs_from_excel_lotの使用例

注文Workbookから需要を生成する関数 generate_demand_from_order

generate_demand_from_order

generate_demand_from_orderの使用例

期別資源使用量上限をもつWorkbookから情報を抽出する関数 get_resource_ub

get_resource_ub

最適化結果Workbookの色情報を元に変数の固定情報を抽出する関数 extract_fix_info

extract_fix_info

extract_fix_info関数の使用例

多モードロットサイズ決定問題を解く関数 multi_mode_lotsizing

multi_mode_lotsizing

multi_mode_lotsizing関数の使用例

最終期の在庫量を最適化するための方法

費用内訳のデータフレームを生成する関数 make_cost_df

make_cost_df

make_cost_dfの使用例

最適化結果のExcelファイルを出力する関数 lot_output_excel

lot_output_excel

lot_output_excel関数の使用例

多モードモデルの最適化結果の図を生成する関数 show_result_for_multimode_lotsizing

show_result_for_multimode_lotsizing

show_result_for_multimode_lotsizing関数の使用例

生産計画・スケジューリングのためのヒヤリングメモ

安全在庫配置ならびに在庫最適化のためのヒヤリングメモ

配送最適化のためのヒヤリングメモ

ネットワーク設計のためのヒヤリングメモ

工程データ（マスタ）生成関数 generate_process_master